Matematica e Statistica - Biologia

A.A. 2019/2020 - Matricole dispari


A.A. 2018/2019 - Matricole dispari


A.A. 2017/2018 - Matricole dispari


A.A. 2016/2017 - Matricole dispari

  • Programma dettagliato del corso e modalità d'esame.
  • Testi adottati:
  • Prerequisiti:
  • Esami e vecchie prove scritte.
  • Appunti
    • Irrazionalità di radice quadrata di 2
    • Appunti sulle successioni numeriche Gli esercizi 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 fanno virtualmente parte dell'esame. L'esercizio 5.5 è principalmente rivolto a chi volesse accrescere la propria cultura matematica e a chi volesse prendere un voto più alto.
    • Appunti sui limiti di funzione reale di variabile reale
    • Slide di Statistica descrittiva univariata
    • Slide di Statistica descrittiva bivariata
    • Tabella del Chi-quadro
  • Esercizi
  • Registro delle lezioni:
    • 10 ottobre. Presentazione del programma del corso. Insiemi: definizione e descrizione tramite caratteristica, elencazione e diagramma di Eulero-Venn. Unione, intersezione, differenza e complementare di insiemi. Appartenenza di un elemento ad un insieme. Inclusione fra insiemi. Insieme vuoto. Insiemi disgiunti.
    • 12 ottobre. Il prodotto cartesiano: definizione ed esempi. Insiemi numerici: N, Z, Q, R, numeri algebrici. L'irrazionalità di radice quadrata di 2. Definizione di funzione ed esempi.
    • 14 ottobre. Le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione fra numeri reali. Definizione di relazione d'ordine. Relazione d'ordine fra numeri reali. Ordini totali. Richiamo alla definizione di funzione. Definizione ed esempi di funzioni suriettive, iniettive e bigettive. Definizione di composizione di funzioni.
    • 17 ottobre. Composizione di funzioni e funzione inversa. Il piano cartesiano: definizione, associazione fra punti geometrici e coppie ordinate di reali. Distanza fra due punti e punto medio di un segmento nel piano cartesiano. La retta. La forma implicita dell'equazione della retta. Discussione su casi particolari: l'equazione degli assi, rette verticali ed orizzontali. La forma esplicita y=mx+q: non rappresenta le rette verticali, cenni al significato di m e q sul grafico della retta.
    • 19 ottobre. Retta in forma esplicita (y=mx+q) : significato di m e q nel grafico nel piano cartesiano, grafico di rette per alcuni valori di m e q. Retta passante per un punto e avente un noto coefficiente angolare. (cd) Retta passante per un punto e avente nota ordinata all'origine. (cd) Retta passante per due punti. Posizione reciproca fra due rette. Rette parallele e perpendicolari. Esercizi sulla retta nel piano cartesiano.
    • 21 ottobre. Definizione di parabola e circonferenza come luogo geometrico. Funzione algebrica di secondo grado y=ax^2+bx+c: significato geometrico dei parametri, disegno del grafico della parabola per vari valori dei parametri. Equazione dell'asse di simmetria di una parabola. Coordinate del vertice. Traslazione verso destra/sinistra del grafico di una funzione. Descrizione qualitativa del grafico delle funzioni potenza y=x^n con n numero reale. Equazione di una circonferenza dato il centro e il raggio (cd). Coordinate del centro e raggio data l'equazione di una circonferenza. Rette tangenti ad una parabola ed esempi. Rette tangenti ad una circonferenza ed esempi.
    • 24 ottobre. Funzione inversa. Grafico della funzione inversa tramite simmetria rispetto alla retta y=x. Le proprietà delle potenze e dei radicali. La funzione y=x^(-n) con n naturale: proprietà e grafico. La funzione y=x^(1/n) con n naturale: proprietà e grafico. La funzione esponenziale: proprietà e grafico. Equazioni esponenziali elementari. Definizione di logaritmo. Funzione logaritmo: grafico a partire dal grafico della funzione esponenziale.
    • 26 ottobre. Richiamo alla funzione esponenziale e logaritmo, e al grafico. Proprietà della funzione logaritmo. Risoluzione di alcune equazioni esponenziali e logaritmiche elementari. Formula del cambio di base. Definizione di numero di Nepero tramite serie. La funzione valore assoluto: proprietà e grafico. Deduzione del grafico di Latex formulaLatex formula a partire dal grafico di Latex formula. Esempi: grafici delle funzioni Latex formulaLatex formulaLatex formula e Latex formula.
    • 28 ottobre. La misura degli angoli nella circonferenza goniometrica. Definizione di radiante. La circonferenza goniometrica. Le funzioni seno e coseno goniometrico definite sulla circonferenza goniometrica. Definizione di funzione reale limitata e periodica. Proprietà delle funzioni seno e coseno. Prima relazione fondamentale della goniometria Latex formula (cd). La funzione tangente come rapporto fra seno e coseno. La funzione tangente nella circonferenza goniometrica (cd). Proprietà della funzione tangente. Seno, coseno e tangente per gli angoli Latex formula, Latex formula, Latex formula,  Latex formula, Latex formula,Latex formula, Latex formula e Latex formula . Formule goniometriche: coseno della somma di due angoli, coseno della differenza di due angoli, seno della somma di due angoli, seno della differenza di due angoli, coseno del doppio di un angolo, seno del doppio di un angolo. Legame fra funzione tangente e coefficiente angolare delle rette.
    • 2 novembre. Le successioni numeriche: definizione ed esempi. Proprietà delle successioni: limitatezza, convergenza, divergenza, irregolarità, monotonia. Legami fra le proprietà delle successioni. Algebra dei limiti delle successioni regolari. Forme indeterminate.
    • 4 novembre. Le successioni numeriche: algebra dei limiti di successioni convergenti, parziale aritmetizzazione dell'infinito. Definizione di funzione infinita e gerarchia degli infiniti (logaritmi, potenze ed esponenziali). Esempi di calcolo dei limiti che porgono forme indeterminate del tipo Latex formulaLatex formula.
    • 8 novembre. Gli intervalli di R limitati e illimitati. Intorno di un punto. Intorno di +infinito. Intorno di -infinito. Definizione di limite tramite gli intorni nei vari casi: limite per x che tende a infinito e f(x) che tende ad un valore finito; limite per x che tende a infinito e f(x) che tende ad un valore infinito; limite per x che tende ad un valore finito e f(x) che tende ad un valore infinito; limite per x che tende ad un valore finito e f(x) che tende ad un valore finito. Spiegazione grafica dei limiti. Esempi di verità di un limite.
    • 10 novembre. Definizione successionale di limite. Esempio di limite che non esiste tramite la definizione successionale di limite: lim(x -> +inf) sin x. Algebra dei limiti. Parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito. Calcolo dei limiti agli estremi del dominio per le funzioni y=1/x, y=e^(1/x), y=1/x^2 e trasposizione sul piano cartesiano. Limite destro e sinistro. Esistenza del limite per x che tende ad un valore finito. Definizione di funzione infinita. Gerarchia fra funzioni infinite: potenza, logaritmo ed esponenziale. Esempio di calcolo di limiti che porgono forme indeterminate +inf-inf e inf/inf.
    • 11 novembre. Definizione di funzione continua. Le funzioni elementari sono tutte continue nel loro insieme di definizione (sd). Esempi di funzioni non continue. Esempi di calcolo di limiti che porgono la forma indeterminata inf/inf con il metodo di raccoglimento dell'infinito di massimo grado. Definizione di funzione infinitesima. Gerarchia fra infinitesimi. Limite del rapporto fra due polinomi che porge la forma indeterminata 0/0. Calcolo di Latex formula.
    • 15 novembre. Esercizi sul calcolo dei limiti agli estremi dell'insieme di esistenza. Funzioni continue: definizione ed esempi. Gli asintoti. Discontinuità delle funzioni: a salto finito, a salto infinito, eliminabile. Esempi di funzioni discontinue.
    • 17 novembre. Proprietà delle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema degli zeri. Il metodo di bisezione per la risoluzione approssimata delle equazioni. La derivata: definizione e significato geometrico. La funzione derivata. La derivabilità. Retta tangente al grafico di una funzione. Esempi: calcolo della derivata della funzione Latex formula, calcolo di Latex formula con Latex formula, calcolo della funzione derivata di Latex formula. Derivata della funzione potenza. Esempi particolari: il caso della funzione Latex formula la quale è continua per x=0 ma non ivi derivabile.
    • 18 novembre. Derivate delle funzioni elementari (senza dimostrazione): funzione costante, funzione potenza di esponente naturale, funzione potenza di esponente 1/n, funzione potenza di esponente reale, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione seno, funzione coseno. Algebra delle derivate (senza dimostrazione, esposizione delle formule ed esempi della loro applicazione): derivata di somma algebrica di funzioni, derivata di prodotto di funzioni, derivata di rapporto di funzioni, derivata di funzione composta. La non derivabilità delle funzioni continue: punti angolosi, punti di cuspide, punti di flesso a tangente verticale, punti di semicuspide. Esempi: la funzione valore assoluto ha punto angoloso in x=0, la funzione radice quadrata ha una semicuspide in x=0, la funzione radice cubica di x ha un flesso a tangente verticale in x=0, la funzione radice quadrata del valore assoluto di x ha una cuspide per x=0.
    • 22 novembre. La derivabilità implica la continuità (cd). Esempi di funzioni continue ma non derivabili in un punto. Prima e seconda forma del teorema  della permanenza del segno. Definizione di punto di massimo locale. Definizione di punto di minimo locale. Definizione di punto di estremo locale. Definizione di punto stazionario. Definizione di punto critico. Teorema di Fermat (cd). Teorema di Lagrange (cd). Teorema di Lagrange (cd). Test di monotonia per le funzioni derivabili (cd). Esempi di determinazione di crescenza e decrescenza delle funzioni derivabili.
    • 24 novembre. Insiemi convessi di Latex formula. Definizione di funzione convessa e concava su insieme convesso. Funzioni convesse (o concave) differenziabili. Natura dei punti stazionari di funzioni convesse (o concave) differenziabili. Legame fra derivata seconda e concavità. Flessi. Il Teorema di De l'Hopital: enunciato ed esempi. Approssimazione di funzioni con polinomi: cenni al polinomio di Taylor. Polinomio di Taylor al grado terzo della funzione Latex formula in Latex formula
    • 25 novembre. Approssimazione di funzioni con polinomi: cenni al polinomio di Taylor. Polinomio di Taylor al grado terzo della funzione Latex formula in Latex formula. Studio completo della funzione Latex formula.
    • 29 novembre. Studi di funzione: Latex formulaLatex formula.
    • 1 dicembre. Calcolo combinatorio: permutazioni semplici, permutazioni con ripetizione, disposizioni semplici, disposizioni con ripetizione, combinazioni semplici. Esempi. Sviluppo del binomio secondo Newton (senza dim). Dimostrazione che l'insieme delle parti di un insieme con n elementi ha 2^n elementi.
    • 2 dicembre. Cenni al calcolo delle probabilità. Definizione di spazio campionario. Definizione di evento e di evento elementare. Probabilità matematica. Probabilità assiomatica. Esempi elementari di calcolo delle probabilità. Studio della funzione Latex formula.
    • 6 dicembre. Statistica descrittiva. Definizione di unità statistica e popolazione statistica. Le fasi dell'indagine statistica. Caratteri qualitativi e quantitativi. Definizione di modalità. Raggruppare i dati di un indagine statistica in tabelle. Raggruppare i dati di un indagine statistica in diagrammi: ortogrammi, istogrammi, diagrammi a torta. Gli indicatori di centralità: media (aritmetica, geometrica, armonica, quadratica), moda, mediana. Confronto fra media e mediana: la mediana è meno influenzata da valori anormali rispetto alla media. Gli indici di dispersione: scarto medio, scarto medio quadratico. Definizione di varianza.
    • 13 dicembre. Esercizio 7.21 del libro di testo Montaldo-Ratto. Statistica bivariata: ad ogni unità statistica associo una coppia di caratteri osservati. La tabella a doppia entrata (tabella di contingenza) delle frequenze assolute e delle frequenze relative. Distribuzioni marginali. Distribuzioni condizionate. Definizione di variabili indipendenti. Definizione di frequenza attesa. Il test chi-quadro per il calcolo della fiducia con cui posso affermare che due variabili sono dipendenti.
    • 15 dicembre. Esercizi sul test del Latex formula.
    • 16 dicembre. (mattino) Definizione di covarianza. Significato di covarianza. Definizione di coefficiente di correlazione lineare. Significato grafico del coefficiente di correlazione lineare. La retta di regressione lineare. Dimostrazione dell'espressione della retta di regressione sugli errori verticali e sugli errori orizzontali.
    • 16 dicembre. (pomeriggio) Il coefficiente di correlazione rho e suo significato nel diagramma di dispersione. L'indice di determinazione rho-quadro e suo significato nel diagramma di dispersione. Esercizi vari sulla determinazione della retta di regressione.
    • 20 dicembre. Ripasso sugli indici di centralità e di dispersione. Significato statistico della deviazione standard. Formula di Konig: enunciato e dimostrazione. Esempio di calcolo della varianza con la formula di Konig. Simulazione d'esame.
    • 10 gennaio Sera 14-16 Aula Delta. Esercizi di ricapitolazione.
    • 12 gennaio Mattino 11-13 Aula F. Esercizi di ricapitolazione.
    • 13 gennaio Mattino 9-11 Aula F. Esercizi di ricapitolazione.